Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a₂=3，前n項的和為S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分別是直線l上的點A、B、C的橫坐標，

AB

=

2an+1

an

BC

，設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）用S_n+1、S_n、S_n-1表示出

AB

和

BC

進而根據(jù)題意求得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

推斷出a_n+1+1=2（a_n+1）根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）把（1）中求得a_n代入題設(shè)，求得b_n的表達式，進而可求得C_n，進而用裂項法求得答案．

解答：（1）解：判斷數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，證明如下：
由題意S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分別是直線l上的點A、B、C的橫坐標，

AB

=

2an+1

an

BC

，
得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

⇒an+1=2an+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），又∵a₁=1，a₂=3
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
則a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）]
（2）證明：由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，
∴bn=1+

n(n-1)

2

，
則cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n為：

n

k=1

Ck=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

＜1．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的判定和等比數(shù)列的通項公式以及裂項法求和．