Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)f （x）＝ln x－a2x2＋ax （a∈)．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f （x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f （x)在區(qū)間 （1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;

（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是．首先求得：，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù) 的單調(diào)性并求單調(diào)區(qū)間；

（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f （x)在區(qū)間 （1，＋∞)上是減函數(shù)，所以所以在上恒成立；轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、二次方程與二次不等式問(wèn)題．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域是．

，

由，解得；由，解得；

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是． 5分

（2）（法一）

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在上恒成立，

則，即在上恒成立． 7分

當(dāng)時(shí)，，所以不成立． 9分

當(dāng)時(shí)，，，對(duì)稱軸．

，即，解得

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 13分

（法二），定義域是．

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以不成立． 8分

②時(shí)，

令，即，則， 9分

（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，+所以，解得． 11分

（2）當(dāng)時(shí)，由，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得．

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 13分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、二次函數(shù)、二次方程與一元二次不等式綜合問(wèn)題；3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與數(shù)形結(jié)合的思想．