Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b的圖象是曲線C，曲線C在點(diǎn)（1，3）處的切線與直線y=2x+3平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)F（x）=f（x）-2x-3在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）根據(jù)題意：．∵f'（x）=3x²+a
∴f'（1）=3+a=2得a=-1
由f（1）=3得1+a+b=3，∴b=3
∴f（x）=x³-x+3．
（2）由f（x）=x³-x+3得f'（x）=3x²-1，
令f'（x）=3x²-1＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

3

3

．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為(-∞，-

3

3

)，(

3

3

，+∞)．
（3）F（x）=x³-3x，F(xiàn)'（x）=3x²-3
令F'（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1．
列出x，F(xiàn)'（x），F(xiàn)（x）關(guān)系如下：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
F'（x）		-	0	+
F（x）	0	遞減	極小值-2	遞增	2

∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，F(xiàn)（x）的最大值為2，最小值為-2