Question

（2013•眉山一模）定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），則稱ξ為區(qū)間[a，b]上的“中值點(diǎn)”．下列函數(shù)：
①f（x）=3x+2；   ②f（x）=x²-x+1；   ③f（x）=ln（x+1）；   ④f(x)=(x-

1

2

)3
在區(qū)間[0，1]上“中值點(diǎn)”多于一個的函數(shù)序號為

①④

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，“中值點(diǎn)”的幾何意義是在區(qū)間[0，1]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率等于區(qū)間[0，1]的兩個端點(diǎn)連線的斜率值．分別畫出四個函數(shù)的圖象，如圖．由此定義再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案．

解答：解：根據(jù)題意，“中值點(diǎn)”的幾何意義是在區(qū)間[0，1]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率等于區(qū)間[0，1]的兩個端點(diǎn)連線的斜率值．如圖．
對于①，根據(jù)題意，在區(qū)間[0，1]上的任何一點(diǎn)都是“中值點(diǎn)”，故①正確；
對于②，根據(jù)“中值點(diǎn)”函數(shù)的定義，拋物線在區(qū)間[0，1]只存在一個“中值點(diǎn)”，故②不正確；
對于③，f（x）=ln（x+1）在區(qū)間[0，1]只存在一個“中值點(diǎn)”，故③不正確；
對于④，根據(jù)對稱性，函數(shù)f(x)=(x-

1

2

)3在區(qū)間[0，1]存在兩個“中值點(diǎn)”，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了導(dǎo)數(shù)及其幾何意義等知識點(diǎn)，屬于中檔題．