Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[﹣ ， ]時(shí)，求函數(shù)y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖可得， ，

∴T=2π，則 ．

由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)知， φ= ，則φ= ．

∴f（x）=Asin（x+ ），

又f（0）=Asin =2，得A=4．

∴f（x）=4sin（x+ ）；

（2）解：將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍所得函數(shù)解析式

為y=4sin（2x+ ），再將所得函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位，解析式變?yōu)閥=4sin[2（x﹣ ）+ ]，

∴g（x）=4sin（2x﹣ ）．

由 ，解得： ．

∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

（3）解：y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）

=4sin（x+ + ）﹣4 sin（x+ + ）

=4sin（x+ ）﹣4 cosx

=4sinxcos +4cosxsin ﹣

=4sin（x﹣ ）．

∵x∈[﹣ ， ]，

∴ ，

∴函數(shù)y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最小值為﹣4，最大值為2．

【解析】（1）由圖得到函數(shù)的四分之三周期，進(jìn)一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得φ，再由f（0）=2求得A的值，則函數(shù)解析式可求；（2）由函數(shù)的周期變化和平移變換求得g（x），然后再由簡單的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法求解g（x）的增區(qū)間；（3）結(jié)合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+ ）﹣ f（x+ ），利用三角恒等變換變形后根據(jù)x的范圍求最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．