Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+2-m
（1）若不等式f（x）≥-mx+2在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為g（m），求g（m）的解析式及g（m）=1時實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）由題意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，
即x²-mx+2-m≥0恒成立，
∴△=m²+4m-8≤0，
解得-2-2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2-2，-2+2]．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2mx+2-m的對稱軸為x=m，
①當(dāng)m＜0時，
函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（0）=2-m．
②當(dāng)0≤m≤1時，
函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（1）=-3m+3，
綜上所述，g（x）=，
∵g（m）=1，
∴m=．
分析：（1）由題意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，即x²-mx+2-m≥0恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2mx+2-m的對稱軸為x=m，由此進(jìn)行分類討論，能夠求出g（m）的解析式及g（m）=1時實(shí)數(shù)m的值．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．