Question

14．已知函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)a=0，a＞0，a＜0，分別判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）①當(dāng)a＞1時(shí)，利用f（x）的單調(diào)性，求解函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值，②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：定義域?yàn)镽，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1）…（2分）
（Ⅰ）①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=e^x＞0，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）..（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，解f′（x）＞0得，$x＞-\frac{a+1}{a}$，解f′（x）＜0得，$x＜-\frac{a+1}{a}$，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-\frac{a+1}{a}，+∞）$，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（-∞，-\frac{a+1}{a}）$..（4分）③當(dāng)a＜0時(shí)，解f′（x）＞0得，$x＜-\frac{a+1}{a}$，解f′（x）＜0得，$x＞-\frac{a+1}{a}$，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-∞，-\frac{a+1}{a}）$，[0，1]的單調(diào)減區(qū)間為[0，1]..（6分）
（Ⅱ） ①當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{a+1}{a}＞-2\end{array}\right.$時(shí)，即 當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在$（-2，-\frac{a+1}{a}）$上是減函數(shù)，在$（-\frac{a+1}{a}，0）$上是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值為 $f（-\frac{a+1}{a}）=-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$…（8分）
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{a+1}{a}≤-2\end{array}\right.$時(shí)，即  當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值為$f（-2）=\frac{1-2a}{e^2}$…（10分）
綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間上最小值為$-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間上最小值為$\frac{1-2a}{e^2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．