Question

如圖8所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且．

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小；

（Ⅲ）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC交BD于O，

由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴AC⊥平面SBD，又SDÌ平面SBD，

∴AC⊥SD．··················· 4分

（Ⅱ）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則，又，

∴，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，又OPÌ平面SBD，

∴AC⊥OP，且AC⊥OD，

∴是二面角P－AC－D的平面角．

△POD中，，，

，則，

∴△POD是Rt△，又，∴．

即二面角P－AC－D的大小．···················· 9分

（Ⅲ）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．

，在SP上取一點(diǎn)N，使，過N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E，連結(jié)BN、BE．

在△BND中，，又，

∴平面BEN∥平面PAC，又BEÌ平面BEN，

∴BE∥平面PAC，由于，故

【解析】略