Question

不等式2x²-axy+y²≤0對于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．a(chǎn)≤2

  2

• B．a(chǎn)≥2

  2

• C．a(chǎn)≥

  11

  3

• D．a(chǎn)≥

  9

  2

Answer 1

分析：將不等式等價(jià)變化為a≥

2x2+y2

xy

=

2x

y

+

y

x

，則求出函數(shù)

2x

y

+

y

x

的最大值即可．

解答：解：不等式2x²-axy+y²≤0等價(jià)為a≥

2x2+y2

xy

=

2x

y

+

y

x

，設(shè)t=

y

x

，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴

1

2

≤

1

x

≤1，即

1

2

≤

y

x

≤3，
∴

1

2

≤t≤3，
則

2x

y

+

y

x

=t+

2

t

，
∵t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

，即t=

2

時(shí)取等號．但此時(shí)基本不等式不成立．
又y=t+

2

t

在[

1

2

，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，3]上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)t=

1

2

時(shí)，t+

2

t

=

1

2

+4=

9

2

，
當(dāng)t=3時(shí)，t+

2

t

=3+

2

3

=

11

3

＜

9

2

．
∴

2x

y

+

y

x

的最大值為

9

2

．
∴a≥

9

2

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)f（x）=x+

a

x

，a＞0圖象的單調(diào)性以及應(yīng)用．