Question

已知遞增等差數(shù)列{a_n}中的a₂，a₅是函數(shù)f（x）=x³-7x+10的兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{b_n}滿足：點(diǎn)（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，其中S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由函數(shù)零點(diǎn)的定義和遞增數(shù)列的特征，求出a₂、a₅的值，再求出公差d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)；
（2）點(diǎn)（b_n，S_n）在直線y=-x+1，由“n=1時(shí)b₁=S₁”和“n≥2時(shí)b_n=S_n-S_n-1”化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答： 解：（1）因?yàn)閍₂，a₅是函數(shù)f（x）=x³-7x+10的兩個(gè)零點(diǎn)，
所以a₂=2、a₅=5或a₂=5、a₅=2，
因?yàn)榈炔顢?shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
所以a₂=2、a₅=5，則公差d=

a5-a2

5-2

=1，
則a_n=a₂+（n-2）d=n；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)（b_n，S_n）在直線y=-x+1上，則S_n=-b_n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=-b₁+1，則

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=（-b_n+1）-（-b_n-1+1），
化簡(jiǎn)得：2b_n=b_n-1，即b_n=

1

2

b_n-1，
所以數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
則S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的單調(diào)性，公式：“n=1時(shí)a₁=S₁”和“n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1”的應(yīng)用，以及函數(shù)的零點(diǎn)的定義，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，比較綜合．