Question

過點(diǎn)B（0，1）的直線l₁交曲線x=2于P（2，y），過點(diǎn)B'（0，-1）的直線l₂交x軸于P'（x，0）點(diǎn)，，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與C相交于不同的兩點(diǎn)S、T，已知點(diǎn)S的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)Q（0，m）在線段ST的垂直平分線上且≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定直線l₁、l₂的方程，聯(lián)立方程可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定線段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論，利用≤4，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意，直線l₁的方程是，
∵，∴l(xiāng)₁的方程是
若直線l₂與y軸重合，則M（0，1）；
若直線l₂不與y重合，可求得直線l₂的方程是，與l₁的方程聯(lián)立消去x得，
因l₁不經(jīng)過（0，-1），故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程是（y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）設(shè)T（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2）
于是S、T兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，從而y₁=
設(shè)線段ST的中點(diǎn)為N，則N（，）…（7分）
以下分兩種情況：①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0），線段ST的垂直平分線為y軸，
于是，由≤4得：-2≤m≤2．
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段ST的垂直平分線方程為y-=-（x+）
令x=0，得m=
∵，∴，
由=-2x₁-m（y₁-m）=+（+）=≤4
解得-≤k≤且k≠0，∴m==
∴當(dāng)-≤k＜0時(shí)，≤-4；當(dāng)0＜k≤時(shí)，≥4
∴-≤m≤，且m≠0
綜上所述，-≤m＜，且m≠0．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．