Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD為矩形，，SA=SD=a．
（Ⅰ）求證：CD⊥SA；
（Ⅱ）求二面角C-SA-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）因為平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，所以CD⊥平面SAD．由此能夠證明CD⊥SA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥SA．在△SAD中，SA=SD=a，，所以SA⊥SD，所以SA⊥平面SDC．所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角．由此能夠求出二面角C-SA-D的大�。�
法二：（Ⅰ）取BC的中點E，AD的中點P．在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點，所以，SP⊥AD．又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，所以，SP⊥平面ABCD．PE⊥AD．以PA為x軸，PE為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，由向量法證明CD⊥SA． 
（Ⅱ）設=（x，y，z）為平面CSA的一個法向量，則，所以．為平面SAD的一個法向量，=（0，1，0）為平面SAD的一個法向量，由向量法能求出二面角C-SA-D的大�。�
解答：（本小題滿分14分）
法一：
證明：（Ⅰ）因為平面SAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD．
又因為SA?平面SAD
所以CD⊥SA．                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD⊥SA．
在△SAD中，SA=SD=a，，
所以SA⊥SD，
所以SA⊥平面SDC．
即SA⊥SD，SA⊥SC，
所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角．
在Rt△CDS中，，
所以二面角C-SA-D的大小．      …（14分）
法二：
（Ⅰ）取BC的中點E，AD的中點P．
在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點，所以，SP⊥AD．
又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．顯然，有PE⊥AD．   …（1分）
如圖，以P為坐標原點，PA為x軸，PE為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，．      …（3分）
（Ⅰ）易知
因為，
所以CD⊥SA．       …（6分）
（Ⅱ）設=（x，y，z）為平面CSA的一個法向量，
則有，所以．…（7分）
顯然，EP⊥平面SAD，所以為平面SAD的一個法向量，
所以=（0，1，0）為平面SAD的一個法向量．…（9分）
所以 ，
所以二面角C-SA-D的大小為．   …（14分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，求二面角的大�。�解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．