Question

設(shè)是曲線上的任一點(diǎn)，是曲線上的任一點(diǎn)，稱的最小值為曲線與曲線的距離.

（1）求曲線與直線的距離；

（2）設(shè)曲線與直線（）的距離為，直線與直線的距離為，求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2).

【解析】

試題分析：（1）曲線上任意一點(diǎn)點(diǎn)到的距離為，用求導(dǎo)的方法判斷最小值；（2）根據(jù)題意，，應(yīng)用基本不等式求出最小值，注意一正二定三相等.

試題解析：（1）只需求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值.         1分

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為則點(diǎn)到的距離為

                                        3分

令,則,由；

                5分

故當(dāng)時(shí), 函數(shù)取極小值即最小值，

即取最小值，故曲線與曲線的距離為；     8分

（2）由（1）可知，，又易知，                 9分

則，       12分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，考慮到，所以，當(dāng)時(shí)，

的最小值為．                                            14分

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式，用導(dǎo)數(shù)方法求最值，基本不等式的用法.