Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值，并求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式可得：，據(jù)此利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線可得切線方程為；

（2）原問(wèn)題等價(jià)于：在區(qū)間上恒成立.

解法一（將絕對(duì)值看成一個(gè)函數(shù)的整體進(jìn)行研究）：

構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，據(jù)此可得：.

解法二（求命題的否定所對(duì)應(yīng)的集合，再求該集合的補(bǔ)集）：

考查原命題的否定：在區(qū)間上有解.化簡(jiǎn)可得，其中函數(shù)在區(qū)間上無(wú)最小值，函數(shù)的最大值為，據(jù)此可得.

試題解析：

（1）的定義域是，=，

由得.

當(dāng)時(shí)，=，=

函數(shù)在處的切線方程為y=0.

（2）由得在上恒成立,

即在上恒成立.

解法一（將絕對(duì)值看成一個(gè)函數(shù)的整體進(jìn)行研究）：

令，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，

所以的值域?yàn)椋?/span>，

因?yàn)?/span>，所以的值域?yàn)?/span>；所以不成立.

②當(dāng)時(shí)，易知恒成立.

，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，

依題意，，所以

綜上：.

解法二（求命題的否定所對(duì)應(yīng)的集合，再求該集合的補(bǔ)集）：

命題“對(duì)都成立”的否定是“在上有解”.

在上有解在上有解，

在上有解，

令，.

，

所以在上單調(diào)遞增，

又，所以無(wú)最小值.所以；

令，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以,所以.

因?yàn)?/span>在上有解時(shí)，；

所以對(duì)都成立時(shí)，.