Question

3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，且過點(diǎn)（4，4）．
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)是PF的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線方程y²=2px（p＞0），將點(diǎn)（4，4），代入即可求得拋物線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）M點(diǎn)是PF的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入拋物線方程，求得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，且過點(diǎn)（4，4），設(shè)拋物線方程y²=2px（p＞0）．
將點(diǎn)（4，4），代入拋物線方程，16=2×4p，解得：p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），F(xiàn)（1，0），M點(diǎn)是PF的中點(diǎn)，
則x₀+1=2x，0+x₀=2y，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，y₀²=4x₀，代入（2y）²=4（2x-1），
∴y²=2x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查待定系數(shù)法，屬于中檔題．