已知f（x）、g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f（x）-g（x）=ex
（Ⅰ）f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
【答案】
分析：（Ⅰ）由題意用-x代替x，得f（-x）-g（-x）=e
-x，利用f（x）、g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于
f（x）和g（x）另外一個(gè)方程，再與已知方程聯(lián)列，解之可得f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）得
，求出其導(dǎo)函數(shù)，可以得出導(dǎo)函數(shù)在（-∞，+∞）上恒為負(fù)值，因此可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x），g（x）分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)f（x）-g（x）=e
x①∴f（-x）-g（-x）=e
-x∴-f（x）-g（x）=e
-x②①-②得：
①+②得：
（Ⅱ）證明：由（1）知
所以
，即導(dǎo)函數(shù)在（-∞，+∞）上恒為正值
因此f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用函數(shù)奇偶性來求函數(shù)的解析式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．解決的關(guān)鍵是利用替換列出另外一個(gè)方程，再用函數(shù)奇偶性結(jié)合方程思想求出函數(shù)的解析式．
