Question

已知曲線C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α為參數(shù)），曲線C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，將C₁的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的

1

3

得到曲線C₃．
（Ⅰ）求曲線C₃的普通方程，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點P為曲線C₃上的任意一點，Q為曲線C₂上的任意一點，求線段|PQ|的最小值，并求此時的P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）通過變換求出曲線C₃的參數(shù)方程然后求解它的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，直接求解曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）點P為曲線C₃上的任意一點，Q為曲線C₂上的任意一點，線段|PQ|的最小值，轉(zhuǎn)化為圓的圓心到直線的距離減去半徑，利用直線的垂直關(guān)系，即可并求此時的P的坐標(biāo)．

解答： （本題滿分10分）
解：（Ⅰ）曲線C₁：

x= 1 2 cosα y=3sinα

（α為參數(shù)），將C₁的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的

1

3

得到曲線C₃．

x=cosα y=sinα

，∴曲線C₃：x²+y²=1，
曲線C₂：ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

，
∴曲線C₂：x+y=2-----------（5分）
（II）設(shè)P（cosα，sinα），則線段|PQ|的最小值為點P到直線x+y=2的距離．
轉(zhuǎn)化為圓的想到直線的距離減去半徑，
∴|PQ|min=

|0+0-2|

1+1

-1=

2

-1，
直線x+y=2的斜率為-1，所以QP的斜率為1，P在x²+y²=1上，
所以p(

2

2

，

2

2

)-----------（10分）

點評：本題考查直線的參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．