Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足，=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)S（0，）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，=0，
∴NP為AM的垂直平分線，
∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2
∴|CN|+|AN|=2＞2
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（﹣1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
且橢圓長軸長為2a=2，焦距2c=2
∴a=，c=1，
∴b²=1
∴曲線E的方程為；
（2）動(dòng)直線l的方程為：y=kx﹣與橢圓方程聯(lián)立，
消元可得（2k²+1）x²﹣kx﹣=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G（0，m），滿足題設(shè)，
則=（x₁，y₁﹣m），=（x₂，y₂﹣m），
∴=x₁x₂+（y₁﹣m）（y₂﹣m）=
由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R，=0恒成立，
∴m²﹣1=0且9m²+m﹣15﹣0，解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)G，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1）
這時(shí)，點(diǎn)G到AB的距離d==
S_GAPB=|AB|d==
設(shè)2k²+1=t，則，
得t∈[1，+∞），
所以S_GAPB=≤，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．
因此，四邊形NAPB面積的最大值是．