平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡與橢圓交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍．
【答案】分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數(shù)即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與橢圓方程組成方程組，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再結(jié)合向量的垂直關(guān)系得到關(guān)于a，b的關(guān)系，化簡即得結(jié)論．
（3）由（2）得 從而 又橢圓的離心率不大于，得出 ．解得橢圓長軸長2a的取值范圍即可．
解答：解：（1）設(shè)
∴即點C的軌跡方程為x+y=1
（2）∴
設(shè)
由題意
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=
∴為定值
（3）∵，
∵，∴
∴，
∴
∴橢圓實軸長的取值范圍是
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1）、B（-1，3），若點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（　　）
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標系中，O為原點，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點Q的坐標是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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