設(shè)橢圓C：+=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，一條直線過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．
【答案】分析：設(shè)過點(diǎn)F的弦AB的中點(diǎn)為M，分別過A，B，M向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|=（|AA1|+|BB1|）=（+）=|AB|，又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形?|PM|=|AB|，所以=，cos∠PMM1=，由此能求出AB的方程．
解答：解：如圖，∵F（-，0），l：x=-2，離心率e=．設(shè)過點(diǎn)F的弦AB的中點(diǎn)為M，分別過A，B，M向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|=（|AA1|+|BB1|）=（+）=|AB|，又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形?|PM|=|AB|，所以=，


即cos∠PMM1=，
∴sin∠PMM1=，tam∠PMM1=，
又kPM=±tam∠PMM1=±
∵AB⊥PM，∴kAB=-=±，
又AB過點(diǎn)F（-，0），所以AB的方程為y=±（x+）．
即直線AB的方程為：，或．
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率等．考查直線與圓錐曲線的基本問題的研究方法，如弦長計(jì)算、弦中點(diǎn)坐標(biāo)求法等．考查圓錐曲線的定義的靈活應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知橢圓x2+
y2
4
=1的左，右兩個頂點(diǎn)分別為A、B．曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為
5
的雙曲線．設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，證明：x1•x2=1；
（3）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為S1與S2，且
PA
•
PB
≤15，求S12-S22的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2分別是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右焦點(diǎn)，曲線C是坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F2為焦點(diǎn)的拋物線，過點(diǎn)F1的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M，設(shè)
F1P
=λ
F1Q

（I）若λ∈[2，4]，求直線L的斜率k的取值范圍；
（II）求證：直線MQ過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，一條直線過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006-2007學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)綜合試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓C：+=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，一條直線過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．

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