Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|，（x∈R）
（1）證明：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（2）對(duì)?t∈R，都有f（x）＞at²+at+1，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）：證明：因?yàn)閒（x）=|x+1|+|x-3|，（x∈R）
∵f（1+x）=|x+2|+|x-2|，f（1-x）=|1-x+1|+|1-x-3|=|2-x|+|2+x|，
∴f（1+x）=f（1-x），所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，…（5分）
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，
∴4≥at²+at+1，即at²+at-3≤0，
由題意可知此不等式對(duì)?t∈R恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，-3＜0顯然成立．
當(dāng)a≠0時(shí)，必有解得-12＜a＜0
∴-12＜a≤0，
所求a的取值范圍是（-12，0]；（備注：漏掉a=0扣2分）…（10分）
分析：（1）由題意，證明函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，即證明f（1+x）=f（1-x），由所研究的函數(shù)分別得出f（1+x）與f（1-x），驗(yàn)證兩者相等即可；
（2）對(duì)?t∈R，都有f（x）＞at²+at+1，問題可以轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞at²+at+1，故可以先由絕對(duì)值加法規(guī)則求出f（x）_min，再由f（x）_min＞at²+at+1恒成立即可得到a的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)恒成立的問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖象的對(duì)稱性與解析式的對(duì)應(yīng)，及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題有一定的探究性，考查了轉(zhuǎn)化的思想，及判斷推理的能力