如圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0，r)(b>r>0)．

（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；

（2）直線y=k1x交橢圓于兩點C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2>0)；直線y=k2x交橢圓于兩點G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4>0)．求證；

（3）對于（2）中的C、D、G、H，設CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q．求證：|OP|=|OQ|．（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

答案：
解析：

（1）解：橢圓方程為，焦點坐標為，，離心率．

（2）證明：將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理得(b2+)x2-2a2rx(a2r2-a2b2)=0．根據(jù)韋達定理，得

，  所以，       ①

將直線GH的方程y=x代入橢圓方程，同理可得，

由①、②得所以結論成立．

（3）證明：設點P(p，0)，點Q(q，0)，由C、P、H共線，得，解得，由D、Q、G共線，同理可得由，變形得

即

所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|．


提示：

本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，
（1）若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
b
a
的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦．是否存在實數(shù)k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2＞a1c2；④
c1
a1
≤
c2
a2
．
其中正確式子的序號是
②③
②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)一模）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于P點，若點D滿足
FD
=
DP
，
AB
=λ
AD
（λ≠0），
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的長軸長等于4，Q是橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A1，A2分別是橢圓的左、右頂點，直線QA1、QA2與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓的中心在原點，長軸AA1在x軸上.以A、A1為焦點的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點，且|CD|＝|AA1|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E，設，當時，求雙曲線的離心率e的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓=1(a＞b＞c)的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于P點.若點D滿足 (λ≠0).

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)若橢圓的長軸長等于4，Q是橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A1、A2分別是橢圓的左、右頂點，直線QA1、QA2與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點.

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