Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商場(chǎng)的一種商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）銷(xiāo)售價(jià)格f（t）（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

k

t

)（k為正常數(shù)），日銷(xiāo)售量g（t）（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（t）=125-|t-25|，且第25天的銷(xiāo)售金額為13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）試寫(xiě)出該商品的日銷(xiāo)售金額w（t）關(guān)于時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）該商品的日銷(xiāo)售金額w（t）的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）由第25天的銷(xiāo)售金額為13000元，我們易得f（25）•g（25）=13000，將f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|代入易得K值．
（2）由（1）的結(jié)論，將K代入f(t)=100(1+

k

t

)、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷(xiāo)售金額w（t）關(guān)于時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）的結(jié)論，判斷函數(shù)的單調(diào)性不難判斷函數(shù)的最小值，即該商品的日銷(xiāo)售金額w（t）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得f（25）•g（25）=13000，
即100(1+

k

25

)•125=13000，解得k=1
（Ⅱ）w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（Ⅲ）①當(dāng)1≤t＜25時(shí)，因?yàn)?span id="7nmwyjd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">t+

100

t

≥20，
所以當(dāng)t=10時(shí)，w（t）有最小值12100
②當(dāng)25≤t≤30時(shí)，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當(dāng)t=30時(shí)，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，∴當(dāng)t=10時(shí)，
該商品的日銷(xiāo)售金額w（t）取得最小值為12100

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建模→解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．