Question

已知數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

(n+1)(2an-n)

an+4n

(n∈N+)
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在實數t，使得數列

an+tn an+n

是公差為-1的等差數列，若存在求出t的值，否則，請說明理由；
（3）記bn=

1

3 n+2 2 •an+2

(n∈N+)數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＞-

2 3 +1

12

．

Answer 1

分析：（1）由a1=

1

2

，an+1=

(n+1)(2an-n)

an+4n

，能求出a₂，a₃，a₄．
（2）由

an+1+t(n+1)

an+1+n+1

-

an+tn

an+n

=

(n+1)(2an-n) an+4n +t(n+1)

(n+1)(2an-n) an+4n +n+1

-

an+tn

an+n

=

(t+2)an+(4t-1)n

3an+3n

-

an+tn

an+n

=

t-1

3

，知數列{

an+tn

an+n

}是公差為

t-1

3

的等差數列．由此能求出t的值．
（3）由

an-2n

an+n

=

a1-2

a1+1

+(n-1)×(-1)=-n，知an=

-n2+2n

n+1

，由此入手能夠證明Sn＞-

2 3 +1

12

．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an+1=

(n+1)(2an-n)

an+4n

，
∴a2=0，a3=-

3

4

，a4=-

8

5

．（3分）
（2）

an+1+t(n+1)

an+1+n+1

-

an+tn

an+n

=

(n+1)(2an-n) an+4n +t(n+1)

(n+1)(2an-n) an+4n +n+1

-

an+tn

an+n

=

(t+2)an+(4t-1)n

3an+3n

-

an+tn

an+n

=

t-1

3

，
∴數列{

an+tn

an+n

}是公差為

t-1

3

的等差數列．
由題意，知

t-1

3

=-1，得t=-2．（7分）
（3）由（2）知

an-2n

an+n

=

a1-2

a1+1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=

-n2+2n

n+1

，（9分）
此時bn=

1

3 n+2 2 • -(n+2)2+2(n+2) n+3

=

-n-3

( 3 )n+2(n+2)n

=

1

2

[

1

( 3 )n+2(n+2)

-

1

( 3 )nn

]，
∴Sn=

1

2

[

1

( 3 )3×3

-

1

3

+

1

( 3 )4×4

-

1

( 3 )2×2

+

1

( 3 )5×5

-

1

( 3 )3×3

++

1

( 3 )n+2×(n+2)

-

1

( 3 )n×n

]=

1

2

[-

1

3

-

1

6

+

1

( 3 )n+1×(n+1)

+

1

( 3 )n+2×(n+2)

]＞

1

2

×(-

1

3

-

1

6

)=-

2 3 +1

12

．
故Sn＞-

2 3 +1

12

．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．