Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）如果x為正實(shí)數(shù)，f（x）＜0，并且f（1）=

1

2

，求求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0），再令x=y=0，可求得f（0）=0，從而可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）確定f（x）在R上單調(diào)遞減，可得f（-2）為最大值，f（6）為最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）證明：令x=y=0，
則f（0）=2f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）（2）解：設(shè)x₁＜x₂，且x₁，x₂∈R．
則f（x₂-x₁）=f（x₂+（-x₁））=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）．
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0．∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x）在R上單調(diào)遞減．
∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值．
∵f（1）=-

1

2

，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3．
∴f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值為1，最小值為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查賦值法研究抽象函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．