在中學(xué)階段,對(duì)許多特定集合(如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在A上定義一個(gè)運(yùn)算,記為⊙,對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=(a,b),β=(c,d),規(guī)定:α⊙β=(
.
a-c
bd
.
,
.
da
cb
.
)

(1)計(jì)算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算⊙滿足交換律和結(jié)合律,并任選其一證明;
(3)A中是否存在唯一確定的元素I滿足:對(duì)于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,請(qǐng)求出元素I;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)試延續(xù)對(duì)集合A的研究,請(qǐng)?jiān)贏上拓展性地提出一個(gè)真命題,并說(shuō)明命題為真的理由.
分析:(1)利用題中的定義,利用行列式公式求出值
(2)利用定義寫(xiě)出交換律,結(jié)合律,并用題中的定義證明.
(3)先假設(shè)存在,利用定義寫(xiě)出方程,解得求出即存在,若求不出,則不存在.
(4)類(lèi)比實(shí)數(shù)中的一些運(yùn)算律寫(xiě)出,并用題中的定義證明.
解答:解:(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14)
(2)設(shè)A中的任意三個(gè)元素α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)
交換律:α⊙β=(ad+bc,bd-ac)=β⊙α結(jié)合律:(α⊙β)⊙γ=(adf+bcf+bde-ace,bdf-acf-ade-bce)=α⊙(β⊙γ)
(3)假設(shè)存在I=(x,y),α=(a,b),則I⊙α=α,
即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)?(
.
x-a
yb
.
,
.
bx
ay
.
)
=(a,b),
①若α=(0,0),顯然有I⊙α=α成立;
②若α≠(0,0),則
所以
bx+ay=a
-ax+by=b.

解得x=0,y=1.
所以,存在I=(0,1)滿足:對(duì)于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立.
(4)①舉例計(jì)算,如計(jì)算(1,-1)⊙(0,-1)等不給分.
②計(jì)算α⊙α=(2ab,b2-a2)、α⊙(-α)=(-2ab,a2-b2)、(a,b)⊙(1,0)=(b,-a)、(a,b)⊙(0,0)=(0,0)等.
③定義“加法”⊕:(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d),
并解釋合理性(驗(yàn)證α⊕α=(0,2)⊙α).
④證明消去律成立:(a,b)⊙(c,d)=(a,b)⊙(e,f)?(c,d)=(e,f).
⑤方程α⊙x=e當(dāng)α≠(0,0)時(shí)有解,并求出解x=(
-a
a2+b2
,
b
a2+b2
)

⑥方程α⊙x=β當(dāng)α≠(0,0)時(shí)有解,并求出解x=(
ad-bc
a2+b2
-ac-bd
a2+b2
)

⑦定義“逆運(yùn)算※”,對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=(a,b)≠(0,0),β=(c,d),
規(guī)定:β※α=(
ad-bc
a2+b2
-ac-bd
a2+b2
)
解釋合理性(如6)
點(diǎn)評(píng):本題考查類(lèi)比推理、利用題中所給的定義解題是高考中場(chǎng)出現(xiàn)的題型,要重視.
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(1)計(jì)算:(2,3)⊙(-1,4).
(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算⊙滿足交換律,并給出證明.
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“對(duì)?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要條件,試求出元素I.

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(1)計(jì)算:(2,3)?(-1,4);     
(2)A中是否存在元素γ滿足:對(duì)于任意α∈A,都有γ?α=α成立,若存在,請(qǐng)求出元素γ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)計(jì)算:(2,3)⊙(-1,4).
(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算⊙滿足交換律,并給出證明.
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“對(duì)?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要條件,試求出元素I.

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