已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)判斷方程根的個數(shù),證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)探究:是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)?若存在,求出點A的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(1)
(2)方程有且只有一個實根.
(3)存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側(cè).
【解析】
試題分析:解法一:(Ⅰ)因為,所以,
函數(shù)的圖象在點處的切線斜率.
由得:. 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令.
因為,,所以在至少有一個根.
又因為,所以在上遞增,
所以函數(shù)在上有且只有一個零點,即方程有且只有一
個實根. 7分
(Ⅲ)證明如下:
由,,可求得曲線在點處的切
線方程為,
即. 8分
記
,
則. 11分
(1)當(dāng),即時,對一切成立,
所以在上遞增.
又,所以當(dāng)時,當(dāng)時,
即存在點,使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點處切線的兩側(cè). 12分
(2)當(dāng),即時,
時,;時,;
時,.
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,
即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的
同側(cè). 13分
(3)當(dāng),即時,
時,;時,;時,.
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,
即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的同側(cè).
綜上,存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側(cè). 14分
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)證明如下:
由,,可求得曲線在點處的切
線方程為,
即. 8分
記
,
則. 11分
若存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分都
位于曲線在該點處切線的兩側(cè),則問題等價于t不是極值點,
由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)且僅當(dāng),即時,
t不是極值點,即.
所以在上遞增.
又,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,
即存在唯一點,使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側(cè). 14分
考點:函數(shù)、導(dǎo)數(shù)
點評:本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 (解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項和為,則的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是= 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山西省高二第二學(xué)期3月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:選擇題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為3,數(shù)列
的前項和為,則的值為( )
A、 B、 C、 D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省八縣(市高二下學(xué)期期末聯(lián)考(文科)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為,且在處取得極小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函數(shù)定義域為實數(shù)集,若存在區(qū)間,使得在的值域也是,稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”.
①當(dāng)時,請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”(不必證明);
②當(dāng)時,問是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.
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