已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)判斷方程根的個數(shù),證明你的結(jié)論;

(Ⅲ)探究:是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)?若存在,求出點A的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1)

(2)方程有且只有一個實根.

(3)存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側(cè).

【解析】

試題分析:解法一:(Ⅰ)因為,所以

函數(shù)的圖象在點處的切線斜率

得:.                    4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令

因為,,所以至少有一個根.

又因為,所以上遞增,

所以函數(shù)上有且只有一個零點,即方程有且只有一

個實根.                         7分

(Ⅲ)證明如下:

,可求得曲線在點處的切

線方程為

.                    8分

,

.               11分

(1)當(dāng),即時,對一切成立,

所以上遞增.

,所以當(dāng),當(dāng),

即存在點,使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線

在該點處切線的兩側(cè).                   12分

(2)當(dāng),即時,

時,;時,;

時,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,

即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的

同側(cè).                                   13分

(3)當(dāng),即時,

時,時,;時,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,

即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的同側(cè).

綜上,存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側(cè).                             14分

解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;

(Ⅲ)證明如下:

,,可求得曲線在點處的切

線方程為

.                  8分

,

.            11分

若存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分都

位于曲線在該點處切線的兩側(cè),則問題等價于t不是極值點,

由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)且僅當(dāng),即時,

t不是極值點,即

所以上遞增.

,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,

即存在唯一點,使得曲線在點附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點處切線的兩側(cè).                         14分

考點:函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

點評:本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 (解析版) 題型:填空題

已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項和為,則的值為           .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是=        。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山西省高二第二學(xué)期3月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:選擇題

已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為3,數(shù)列

的前項和為,則的值為(   )

A、         B、         C、         D、

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省八縣(市高二下學(xué)期期末聯(lián)考(文科)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為,且在處取得極小值。

(1)求的解析式;

(2)已知函數(shù)定義域為實數(shù)集,若存在區(qū)間,使得的值域也是,稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”.

①當(dāng)時,請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”(不必證明);

②當(dāng)時,問是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案