Question

6．若雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線(xiàn)段F₁F₂被拋物線(xiàn)y²=4bx的焦點(diǎn)分成5：3兩段，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{15}}{15}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 依題意，拋物線(xiàn)y²=2bx 的焦點(diǎn)F（b，0），由 （ b+c）：（c-b）=5：3可求得b，c關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)即可求得此雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：∵拋物線(xiàn)y²=4bx的焦點(diǎn)F（b，0），線(xiàn)段F₁F₂被拋物線(xiàn)y²=4bx 的焦點(diǎn)分成5：3的兩段，
∴（b+c）：（c-b）=5：3，∴c=4b，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{{c}^{2}}{16}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{16}{15}$．
∴此雙曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{4\sqrt{15}}{15}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)與拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得c=4b是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．