設f(x)=lg,若0≤a≤1,n∈N*且n≥2,求證:f(2x)≥2f(x).

分析：該題證法很多,在此只給出用柯西不等式證明的過程.先要把要證結論進行等價轉化,使之出現(xiàn)柯西不等式的結構.

證明：要證明f(2x)≥2f(x)

n［12x+22x+…+(n-1)2x+an2x］≥［1x+2x+…+(n-1)x+anx］2.                             ①

∵a≥a2,根據(jù)柯西不等式,得

式①左邊≥{(1x)2+(2x)2+…+［(n-1)x］2+(anx)2}≥［1x+2x+…+(n-1)x+anx］2,

即式①成立.

故原不等式得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：函數(shù)g（x）=(a-
3
2
)x是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+
1
16
a)的定義域為R，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

現(xiàn)有下列命題：
①設a，b為正實數(shù)，若a2-b2=1，則a-b＜1；
②設
a
，
b
均為單位向量，若|
a
+
b
|＞1則θ∈[0，
2π
3
)；
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項是第4項；
④設函數(shù)f(x)=
lg|x-1|，x≠1
0，x=1
，則關于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4個解．
其中的真命題有
①②③
①②③
．（寫出所有真命題的編號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•武進區(qū)模擬）設a為實數(shù)，給出命題p：關于x的不等式(
1
2
)|x-1|≥a的解集為?，命題q：函數(shù)f(x)=lg(ax2+(a-2)x+
9
8
)的定義域為R，若命題p和q中有且僅有一個正確，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lg(x+
a
x
-2)，其中a是大于0的常數(shù)．
（1）設g(x)=x+
a
x
，判斷并證明g（x）在[
a
，+∞)內的單調性；
（2）當a∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）在[2+∞）內的最小值；
（3）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

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