證明以下結論:
(1)若x>y>0,則(x2-y2)(x+y)>(x2+y2)(x-y);
(2)若a>0,b>0,a≠b,則aabb(ab)
a+b2
分析:(1)對所證的不等式作差后化積,再分析乘積的符號,從而可證得結論;
(2)利用分析法,在a>0,b>0,a≠b時,要證aabb(ab)
a+b
2
,需證(
a
b
)
a-b
2
>1;通過對a,b的大小關系的討論,利用指數(shù)函數(shù)的性質即可使原結論得證.
解答:證明:(1)∵(x2-y2)(x+y)-(x2+y2)(x-y)=(x-y)[(x+y)2-(x2+y2)]=(x-y)×2xy;
又x>y>0,
∴x-y>0,xy>0,
∴(x-y)×2xy>0,
∴(x2-y2)(x+y)>(x2+y2)(x-y);
(2)要證aabb(ab)
a+b
2
,
需證aa-
a+b
2
bb-
a+b
2
=a
a-b
2
b
b-a
2
=(
a
b
)
a-b
2
>1;
∵a>0,b>0,a≠b,
∴當a>b>0時,
a
b
>1,
a-b
2
>0,由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的性質可知,(
a
b
)
a-b
2
>1;
當b>a>0時,0<
a
b
<1,
a-b
2
<0,由指數(shù)函數(shù)y=ax(0<a<1)的性質可知,(
a
b
)
a-b
2
>1;
綜上所述,當a>0,b>0,a≠b時,(
a
b
)
a-b
2
>1成立;
故原結論成立,即a>0,b>0,a≠b,則aabb(ab)
a+b
2
點評:本題考查綜合法與分析法,著重考查轉化思想推理分析、證明的能力,考查指數(shù)函數(shù)的性質,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

5、(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設|x1|≥1,以下結論正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀:設Z點的坐標(a,b),r=|
OZ
|,θ是以x軸的非負半軸為始邊、以OZ所在的射線為終邊的角,復數(shù)z=a+bi還可以表示為z=r(cosθ+isinθ),這個表達式叫做復數(shù)z的三角形式,其中,r叫做復數(shù)z的模,當r≠0時,θ叫做復數(shù)z的幅角,復數(shù)0的幅角是任意的,當0≤θ<2π時,θ叫做復數(shù)z的幅角主值,記作argz.
根據(jù)上面所給出的概念,請解決以下問題:
(1)設z=a+bi=r(cosθ+isinθ) (a、b∈R,r≥0),請寫出復數(shù)的三角形式與代數(shù)形式相互之間的轉換關系式;
(2)設z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),探索三角形式下的復數(shù)乘法、除法的運算法則,請寫出三角形式下的復數(shù)乘法、除法的運算法則.(結論不需要證明)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

三角函數(shù)內(nèi)容豐富,公式很多.如果你仔細觀察、敢于設想、科學求證,那么你也能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘.請你完成以下問題:
(1)計算:(直接寫答案)
cos2°
sin47°
+
cos88°
sin133°
=
2
2
cos5°
sin50°
+
cos85°
sin130°
=
2
2

(2)根據(jù)(1)的計算結果,請你猜出一個一般性的結論:
cos(θ-45°)
sinθ
+
cos(135°-θ)
sin(180°-θ)
=
2
cos(θ-45°)
sinθ
+
cos(135°-θ)
sin(180°-θ)
=
2
.(用數(shù)學式子加以表達,并證明你的結論,寫出推理過程.)

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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆河北省高二下學期期中理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

(1)已知:,求證:,用反證法證明時,可假設

(2)已知:,,求證:方程的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根的絕對值大于或等于1,即假設,以下結論正確的是( 。

A.的假設都錯誤

B.的假設都正確

C.的假設正確;的假設錯誤

D.的假設錯誤;的假設正確

 

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