Question

已知函數(shù)f（x）=，a＞0．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞時(shí)，若存在x∈（，+∞），使得f（x）＜，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，則f'（x）=0，解a．
（Ⅱ）解導(dǎo)數(shù)不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）將不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124754536122239/SYS201310251247545361222017_DA/0.png">，且f'（x）=x-（1+2a）+，…（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2取得極小值，所以f'（2）=0，
即f'（2）=2-（1+2a）+=0，．…（2分）
解得a=1．…（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)：a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，所以a=1．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x-（1+2a）+==
令f'（x）=0，則x=或x=2a…（6分）
i、當(dāng)2a＞，即a＞時(shí)，

x	（-，）		（，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-，）和（2a，+∞），減區(qū)間為（，2a）…（7分）
ii、當(dāng)2a=，即a=時(shí)，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增區(qū)間為（，+∞）                     …（8分）
iii、當(dāng)0＜2a＜，即0＜a＜時(shí)，

x	（-，2a）	2a	（2a，）		（，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-，2a）和（，+∞），減區(qū)間為（2a，）…（9分）
綜上所述：
0＜a＜時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-，2a）和（，+∞），減區(qū)間為（2a，）a=時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（，+∞）a＞時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-，）和（2a，+∞），減區(qū)間為（，2a）
（Ⅲ）由題意，a＞時(shí)，存在x∈（，+∞），f（x）＜，即a＞時(shí)，f（x）在（，+∞）上的最小值小于．…（10分）
由（Ⅱ）a＞時(shí)，f（x）在（，2a）上遞減，在（2a，+∞）上遞增，f（x）在（，+∞）上的最小值為f（2a），…（11分）
所以f（2a）＜，
即＜…（12分）
化簡(jiǎn)得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，
又a＞，所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題，對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為最值恒成立．實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的最大值或最小值．