Question

已知函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx，a∈R．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）存在極值，且所有極值之和大于5-ln

1

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），通過求導(dǎo)得其導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）存在極值，得到其導(dǎo)數(shù)值在（0，+∞）上有根，設(shè)出方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得到不等式解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
a=0時f/(x)=-

1

x

-2x＜0對（0，+∞）恒成立，
∴f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無遞增區(qū)間
（2）f/(x)=-

2x2-ax+1

x

∵f（x）存在極值，
∴f/(x)=-

2x2-ax+1

x

=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
設(shè)方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，
由韋達(dá)定理得：

x1x2= 1 2 ＞0 x2+x1= a 2

，
所以方程的根必為兩不等正根．
f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(lnx1+lnx2)
=

a2

2

-

a2

4

+1-ln

1

2

＞5-ln

1

2

∴a²＞16
又a²＞16滿足方程2x²-ax+1=0判別式大于零
故所求取值范圍為（4，+∞）

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中檔題．