Question

設中心在坐標原點的橢圓M與雙曲線2x²-2y²=1有公共焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）過點A（2，0）的直線交橢圓M于P、Q兩點，且滿足OP⊥OQ，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）設出直線方程，利用橢圓的離心率公式及橢圓中三個參數(shù)的關系，列出方程組，求出a，b，c的值，即得到橢圓的方程．
（II）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到交點的坐標滿足的關系，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率，即得到直線的方程．

解答：解：（Ⅰ） 設橢圓M的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則有

a2-b2=1 1 a = 2 2

解得

a= 2 b=1

，
∴橢圓M的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）當k不存在時，直線為x=2與橢圓無交點
當k存在時，設PQ：y=k（x-2）
代入

x2

2

+y2=1整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

∴y1y2=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

10k2-2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

5

所求直線PQ的方程為y=±

5

5

(x-2)

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的問題，一般講直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理找突破口．