Question

已知函數(shù)f(x)＝x(＋)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；

(3)證明：函數(shù)f(x)在定義域上恒大于0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)定義域?yàn)閧x|x≠0}． 　　(2)因?yàn)閒(x)＝x(＋)，所以f(x)＝x(＋)＝． 　　因?yàn)閒(－x)＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． 　　(3)當(dāng)x＞0時(shí)，3x＞1，所以3x－1＞0．所以＞0，從而有＋＞． 　　所以x(＋)＞＞0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0； 　　當(dāng)x＜0時(shí)，1＞3x＞0，所以0＞3x－1＞－1．所以＜－1，從而有＋＜． 　　所以x(＋)＞－＞0，即當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0． 　　綜上所述，函數(shù)f(x)在定義域上恒大于0． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)判斷函數(shù)的奇偶性可以直接運(yùn)用定義來(lái)判斷，也可以運(yùn)用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．因此對(duì)于本題中的(2)還有以下解法： 　　因?yàn)閒(x)－f(－x)＝x(＋＋1)＝x(＋1)＝0． 　　所以得f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)． 　　(2)證明函數(shù)在定義域上恒大于0的問(wèn)題，可以運(yùn)用分類討論來(lái)逐步求解，也可以轉(zhuǎn)化為先證明函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上值域?yàn)?0，＋∞)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)得到函數(shù)f(x)在(－∞，0)上值域?yàn)?0，＋∞)，從而證得結(jié)論．

提示：

本題中求函數(shù)的定義域從分母不為0入手；對(duì)于函數(shù)奇偶性的討論可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來(lái)判斷．