Question

已知集合H是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）冪函數(shù)f（x）=x^-1是否屬于集合H？請說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=lg

a

x2+1

∈H，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：函數(shù)h（x）=2^x+x²∈H．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）集合M中元素的性質，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函數(shù)解析式列出方程，進行求解，若無解則此函數(shù)不是M的元素，若有解則此函數(shù)是M的元素；
（2）根據f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和對數(shù)的運算，求出關于a的方程，再根據方程有解的條件求出a的取值范圍，當二次項的系數(shù)含有參數(shù)時，考慮是否為零的情況；
（3）根據定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉化為對應的函數(shù)，利用函數(shù)的零點存在性判定理進行判斷．

解答： （1）解：若f（x）=x^-1∈H，則有

1

x0+1

=

1

x0

+1，即

x

2 0

+x0+1=0，
而此方程無實數(shù)根，所以f（x）=x^-1∉H．（4分）
（2）解：由題意lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

2

有實數(shù)解
即

a

(x0+1)2+1

=

a

x 2 0 +1

•

a

2

，也即(a-2)

x

2 0

+2ax0+2(a-1)=0有實數(shù)解．
當a=2時，有實數(shù)解x0=-

1

2

．
當a≠2時，應有△=4a2-8(a-2)(a-1)≥0⇒a∈[3-

5

，0)∪(0，3+

5

]．
綜上得，a的取值范圍為[3-

5

，3+

5

]．
（3）證明：∵h(x0)=2x0+

x

2 0

，h(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，h(1)=3，
∴h(x0+1)=h(x0)+h(1)?2x0+1+(x0+1)2=2x0+

x

2 0

+3?2x0+2x0-2=0
令m（x）=2^x+2x-2，∵m（x）在R上連續(xù)不斷，且m（0）=-1＜0，m（1）=2＞0，
∴存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0成立．
∴存在x₀∈（0，1），使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1）成立．
∴h（x）∈H．

點評：本題的考點是函數(shù)與方程的綜合運用，此題的集合中的元素是集合，主要利用了元素滿足的恒等式進行求解，根據對數(shù)和指數(shù)的元素性質進行化簡，考查了邏輯思維能力和分析、解決問題的能力．