Question

一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分，最多能被分成幾部分？

Answer 1

答案：
解析：

在空間只有三個(gè)平面才能交于一點(diǎn)(就是說(shuō)，四個(gè)或四個(gè)以上平面不能交于一點(diǎn))以及三個(gè)或三個(gè)以上的平面產(chǎn)生的交線互不平行的時(shí)候，用n個(gè)平面去劃分空間，才能使分得的空間塊的數(shù)目最多．因此，在后面的分析中，我們假設(shè)的這些條件都是滿足的．用Vn表示由n個(gè)平面去劃分空間時(shí)所得空間塊的數(shù)目．考查增加一個(gè)平面，可以把空間多分割出幾個(gè)空間塊，由于第n個(gè)平面與前n－1個(gè)平面相交，因此第n個(gè)平面上就有n－1條交 　　線，這些交線滿足例3的假定條件，因此，根據(jù)例3的結(jié)論可知第n個(gè)平面被n－1條直線分成＝個(gè)平面塊，而每個(gè)平面塊把它所在的那個(gè)空間塊一分為二，于是增加了個(gè)空間塊．因此得到遞推公式 　　Vn＝Vn－1＋． 　　在上式中分別令n＝1，2，…，n，可得n個(gè)等式 　　V1＝1＋1＝1＋，V2＝V1＋， 　　V3＝V2＋，…… 　　Vn＝Vn－1＋． 　　以上n個(gè)等式相加，可得 　　Vn＝1＋(12＋22＋…＋n2)(1＋2＋…＋n)＋n 　　＝1＋··＋n 　�。�． 　　故一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分，最多能被分成(n3＋5n＋6)個(gè)空間塊．