Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°。

   （1）求證：平面PBD⊥平面PAC；

   （2）求點A到平面PBD的距離；

   （3）求二面角A―PB―D的余弦值。

Answer 1

解：（解法一）：（1）設(shè)AC與BD交于O，連結(jié)PO。

    ∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC。  

又∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC。

   （2）作AE⊥PO于E，∵平面PBD⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBD，

所以AE為點A到平面PBD的距離。  

在△PAO中，PA=2，，

   （3）作AF⊥PB于F，連結(jié)EF，∵AE⊥平面PBD，∴AE⊥PB，

∴PB⊥平面AEF，PB⊥EF，∴∠AFE為二面角A―PB―D的平面角，

（解法二）：（1）設(shè)AC與BD交于O點，∵底面是菱形，∴AC⊥BD。

以O(shè)A、OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點O且垂直平面ABCD的直線為z軸，

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則

，                                                      

，

∴平面PBD⊥平面PAC。                                                                   

   （2）設(shè)平面PDB的一個法向量為

令，                                                         

     

   （3）設(shè)平面ABP的一個法向量

                                                                             

                                                                                            

所以二面角A―PB―D的余弦值為