Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，且滿足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使|$\frac{4}{3}$+S_n|＞$\frac{1000}{3}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及方程的思想得到a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩個根，且a₃＜a₅，求出a₃=5，a₅=9，再求出公差，即可求出通項公式，
（2）化簡數(shù)列b_n，得到數(shù)列{b_n}是以4為首項，以4為公比的等比數(shù)列，求出S_n，代入化簡，利用放縮法即可的n≥4，問題得以解決．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₃a₅=45，a₂+a₆=14，
∴a₃+a₅=14，
∴a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩個根，且a₃＜a₅，
解得a₃=5，a₅=9，
∵a₅=a₃+2d，
∴d=2，
∴a₁=a₃-2d=5-4=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*，
（2）∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=4ⁿ，
∴bⁿ⁺¹=4ⁿ⁺¹，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=4，
∴數(shù)列{b_n}是以4為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∵2¹⁰=1024＞1000
∴|$\frac{4}{3}$+S_n|=|$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$•4ⁿ-$\frac{4}{3}$|=$\frac{1}{3}$•4ⁿ⁺¹＞$\frac{1000}{3}$，
∴2²ⁿ⁺²≥2¹⁰，
∴2n+2≥10，
∴n≥4，
∴n的最小值為4．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，通項公式求解，以及放縮法，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．