(2012•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓錐體SO的側(cè)面積為15π,底面半徑OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母線BS的中點(diǎn).
(1)求圓錐體的體積;
(2)異面直線SO與PA所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).
分析:(1)根據(jù)圓錐側(cè)面積公式,結(jié)合題中數(shù)據(jù)列式,可得圓錐的母線長,再用勾股定理算出高的長度,最后用圓錐體積公式可得該圓錐的體積.
(2)取OB中點(diǎn)H,連接PH、AH,在△POB中,利用中位線定理,得到PH∥SO,故∠APH(或其補(bǔ)角)即為直線SO與PA所成角.在Rt△AOH中,計(jì)算出AH的長,最后在Rt△PAH中,利用正切的定義,得到異面直線SO與PA所成角的大小為arctan
3
5
4
解答:解:(1)∵圓錐體SO的側(cè)面積為15π,底面半徑OA=3,
∴π•OA•SB=15π,得SB=5
Rt△SOB中,SO=
SB2-OB2
=4,即圓錐的高為4
圓錐體的體積為V=
1
3
π×32×4=12π
(2)取OB中點(diǎn)H,連接PH、AH
∵△POB中,PH為中位線
∴PH∥SO,PH=
1
2
SO=2
故∠APH(或其補(bǔ)角)即為直線SO與PA所成角
∵SO⊥平面AOB,PH∥SO,
∴PH⊥平面AOB,可得PH⊥AH
∵△AOH中,AO⊥BO,HO=
1
2
BO=
3
2

∴AH=
AO2+HO2
=
3
5
2

∴Rt△PAH中,tan∠APH=
AH
PH
=
3
5
4
,得∠APH=arctan
3
5
4
(銳角),
因此,異面直線SO與PA所成角的大小為arctan
3
5
4
點(diǎn)評(píng):本題給出圓錐一條母線的中點(diǎn)與底面圓上一點(diǎn)的連線,要我們求它與高線所成的角,著重考查了空間平行垂直的位置關(guān)系和異面直線所成角的求法,屬于中檔題.
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(2012•普陀區(qū)一模)
e
1
e
2
是兩個(gè)不共線的向量,已知
AB
=2
e
1
+k
e
2
CB
=
e
1
+3
e
2
CD
=2
e
1
-
e
2
,且A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k=
-8
-8

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(2012•普陀區(qū)一模)設(shè)全集為R,集M={x|
x2
4
+y2=1
},N={x|
x-3
x+1
≤0
},則集合{x|(x+
3
2
)
2
+y2=
1
4
}可表示為( 。

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(1)求常數(shù)p的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、…第3n-2項(xiàng),…,余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{bn},試寫出數(shù)列
{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)n,使得
Tn+1
Tn
=
11
3
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值,若不存在,請說明理由.

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(2012•普陀區(qū)一模)對于平面α、β、γ和直線a、b、m、n,下列命題中真命題是( 。

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(2012•普陀區(qū)一模)函數(shù)y=
1
log
1
2
|x-1|
的定義域是
(0,1)∪(1,2)
(0,1)∪(1,2)

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