Question

（選做題）已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圓M的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

(θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓M上的點到直線的距離的最小值；
（Ⅱ）若過點C（2，0）的直線l與圓M交于A、B兩點，且

CA

=

AB

，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把圓的參數(shù)方程化為普通方程，把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，把此距離再減去半徑，即得所求．
（2）設出直線l的參數(shù)方程，代入圓M的方程化簡，根據(jù)參數(shù)的幾何意義以及韋達定理，求得cosθ+sinθ=

3 2

4

，再利用同角三角函數(shù)的基本關系求出tanθ的值，即為所求．

解答：解：（1）圓M的普通方程為x²+（y+2）²=4，圓心M（0，-2），半徑等于2．直線的極坐標方程ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，即x+y-1=0．
圓心到直線x+y-1=0的距離d=

3 2

2

，
∴圓M上的點到直線的距離的最小值為

3 2

2

-2．
（2）設直線l的參數(shù)方程是

x=2+tcosθ y=tsinθ

(t為參數(shù)），代入圓M的方程得：t²+（4cosθ+4sinθ）t+4=0，
由t的幾何意義及

CA

=

AB

知，t₁=2t₂且t₁+t₂=-4cosθ-4sinθ，t₁t₂=4．
結(jié)合幾何圖形知，t＜0，∴t1=2t2=-2

2

，
∴-4cosθ-4sinθ=-3

2

，即cosθ+sinθ=

3 2

4

．
∴sinθcosθ=

1

16

，∴tanθ=4±

15

，
∴直線l的斜率是4±

15

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，參數(shù)的幾何意義，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系的應用，屬于基礎題．