Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；

（3）當(dāng)時，若與的圖象有兩個交點，求證：．

（取為，取為，取為）

Answer 1

（1）（2）．（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意得對，恒成立，即，∵，∴（2）設(shè)切點，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，，令，則，問題就轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值：由得當(dāng)時 ，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，故的最小值為．（3）本題較難，難點在于構(gòu)造函數(shù).先根據(jù)等量關(guān)系消去參數(shù)a：由題意知，，兩式相加得，兩式相減得，即，

∴，即，為研究等式右邊范圍構(gòu)造函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，有即，所以，再利用基本不等式進(jìn)行放縮：，

即，再一次構(gòu)造函數(shù)，易得其在上單調(diào)遞增，而，因此，即．

試題解析：【解析】
（1）,則，

∵在上單調(diào)遞增，∴對，都有，

即對，都有，∵，∴，

故實數(shù)的取值范圍是． 4分

（2）設(shè)切點，則切線方程為，

即，亦即，

令，由題意得， ７分

令，則，

當(dāng)時 ，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

∴，故的最小值為． １０分

（3）由題意知，，

兩式相加得，兩式相減得，

即，∴，

即， １２分

不妨令，記，令，則，

∴在上單調(diào)遞增，則，

∴，則，∴，

又，

∴，即，

令，則時，，∴在上單調(diào)遞增，

又，

∴，則，即．

１６分

考點：導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

考點分析： 考點1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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