Question

【題目】若函數(shù)g（x）=alnx，對(duì)任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】a≤﹣1
【解析】解：由題意得到：a（x﹣lnx）≤x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，
∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＜0，
因而a≤ （x∈[1，e]）
令f（x）= ，（x∈[1，e]），
又g′（x）= ，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=﹣1，
∴a的取值范圍是a≤﹣1．
所以答案是：a≤﹣1．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的才能正確解答此題．