Question

已知圓C過點(diǎn)P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱．
（1）求圓C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)Q（1，0.5），截圓C所得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C過點(diǎn)P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，我們可以求出圓C的方程，然后判斷圓心距CM與兩圓半徑和與差的關(guān)系，即可得到答案．
（2）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)直線截圓C的弦長(zhǎng)等于2，分別求得直線l的方程．
（3）由已知中直線PA和直線PB與x軸分別交于點(diǎn)G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB是否相等，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得點(diǎn)C和點(diǎn)M（-2，-2）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．
設(shè)C（m，n），由

m+2

n+2

•（-1）=-1，且

m-2

2

+

n-2

2

+2=0 求得

m=0 n=0

，
故原C的方程為 x²+y²=r²．
再把點(diǎn)P（1，1）代入圓C的方程，求得r=

2

，故圓的方程為 x²+y²=2．
（2）直線l過點(diǎn)Q（1，0.5），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，截圓C得到的弦長(zhǎng)等于2

r2-1

=2，滿足條件．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-0.5=k（x-1），即 kx-y+0.5-k=0，則圓心C到直線l的距離d=

|0-0+0.5-k|

k2+1

，
再由弦長(zhǎng)公式可得 2=2

r2-d2

，解得k=-

3

4

，故所求的直線方程為-

3

4

x-y+

1

2

+

3

4

=0，即 3x+4y-5=0．
綜上可得，直線l的方程為 x=1，或 3x+4y-5=0．
（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則得直線OP和AB平行，理由如下：
由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因?yàn)镻的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

．…（12分）
同理，所以x_B=

k2+2k-1

1+k2

，由于AB的斜率k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(yB+yA)

xB-xA

=1=k_OP （OP的斜率），（15分）
所以，直線AB和OP一定平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程，圓與圓位置關(guān)系及其判定，其中根據(jù)已知條件求出圓C的方程是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．