Question

已知等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₁+a₂+a₃=39，a₂+6是a₁和a₃的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

1(n=1) an-1log3an(n≥2)

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞120成立的最小n值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比；由題意列方程組求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）由b_n=a_n-1log₃a_n（n≥2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求出其前n項(xiàng)和，代入S_n＞120求解n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
由已知得，2（a₂+6）=a₁+a₃，即2(a1q+6)=a1+a1q2  ①
a1+a1q+a1q2=39  ②
聯(lián)立①②得，a₁=3，q=3．
∴an=3n；
（Ⅱ）由bn=an-1log3an=3n-1•n（n≥2）．
∴Sn=1+2•31+3•32+…+n•3n-1  ③
3Sn=31+2•32+3•33+…+n•3n  ④
④-③得2Sn=-1-31-32-…-3n-1+n•3n=-(

1-3n

1-3

)+n•3n．
∴2Sn=n•3n-

3n

2

+

1

2

=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．
由S_n＞120，得(n-

1

2

)•3n+

1

2

＞240．
∴n≥4．
∴最小n的值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．