Question

（本小題滿分16分）
已知函數(shù)＝＋，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：（1）①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(0，)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，0)，(0，；
③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，)，(，．
（2）由題設(shè)及（1）中③知＝，且a＞1，解得a＝3，因此函數(shù)解析式為＝＋( x≠0)．
（3）假設(shè)存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l為曲線C的對(duì)稱軸，顯然x，y軸不是曲線C的對(duì)稱軸，故可設(shè)l：y＝kx(k≠0)．
設(shè)P(p，q)為曲線C上的任意一點(diǎn)，與P(p，q)關(guān)于直線l對(duì)稱，且p≠，q≠，則也在曲線C上，由此得＝，＝，且q＝＋，＝＋，整理得k＝，解得k＝或k＝．
所以存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線y＝及y＝為曲線C的對(duì)稱軸．

略