Question

已知圓C：（x-2）²+y²=1．
（1）求過點P（3，m）與圓C相切的切線方程
（2）若點Q是直線x+y-6=0上的動點，過點Q作圓C的切線QA、QB，其中A、B為切點，求：四邊形QACB面積的最小．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）當(dāng)m=0時，P在圓上，則切線方程為x=3；當(dāng)m≠0時，設(shè)過點P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．再由直線與圓相切的條件：d=r，求出k，注意k不存在的情況也成立；
（2）由圖象求得四邊形QACB的面積為S=2×

1

2

QA•AC=QA，當(dāng)QA最小時，S最小，由勾股定理知只要求得QC的最小，可經(jīng)過C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．運用點到直線的距離公式，即可得到最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時，P在圓上，則切線方程為x=3；
當(dāng)m≠0時，設(shè)過點P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．
則由直線與圓相切得，d=r，即有

|2k+m-3k|

1+k2

=1，
解得k=

m2-1

2m

，即y=

m2-1

2m

x+

3-m2

2m

，
顯然x=3也是切線方程．
故m=0時，切線方程為x=3；當(dāng)m≠0時，切線方程為x=3或
y=

m2-1

2m

x+

3-m2

2m

；
（2）由圖象可知AC=BC=1，AQ=BQ，四邊形QACB的面積為S=2×

1

2

QA•AC=QA，
當(dāng)QA最小時，S最�。�在直角三角形QAC中，QA=

QC2-1

，
只要求得QC的最小，可經(jīng)過C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．
由點到直線的距離公式，得C到直線的距離d=

|2+0-6|

2

=2

2

，
則此時QA=

7

，故四邊形QACB的面積的最小為

7

．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線方程的求法，注意斜率不存在的情況，考查運用平面幾何知識解決最值問題，屬于中檔題．