Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（1）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（2）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）分別以AB，AD，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由題意，可先假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，z₀），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，利用法向量與直線DP的方向向量數(shù)量積為0，由此方程解出z₀的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．
（2）由題設條件，可求二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°，建立關于a的方程，解出a的值即可得出AB的長．

解答： 解：（1）分別以AB，AD，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，z₀）使得DP∥平面B₁AE．此時

DP

=(0，-1，z0)
又設AB的長度為a，平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，則

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

，
得

ax+z=0 ax 2 +y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一個法向量

n

=(1，

-a

2

，-a)…（3分）
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，有

a

2

-az0=0，解得z0=

1

2

又DP?平面B₁AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP=

1

2

．…（6分）
（2）連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1得AD₁⊥A₁D
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C
又由（1）知B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁，
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一個法向量，此時

AD1

=(0，1，1)…（9分）
設

AD1

與

n

所成的角為θ，則cosθ=

n • AD1

| n |•| AD1 |

=

- a 2 -a

2 • 1+ a2 4 +a2

∵二面角A-B₁E-A₁的大小為30°
∴|cosθ|=cos30°，即

3a 2

2 • 1+ 5a2 4

=

3

2

，解得a=2，即AB的長為2．…（13分）

點評：本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行，解題的關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼导翱臻g位置關系與向量的對應．