Question

設G為△ABC的重心，過G的直線l分別交△ABC的兩邊AB、AC于P、Q，已知=λ，=μ，△ABC和△APQ的面積分別為S、T．
（1）求證：=3；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設，連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．于是=（）=（）   
 =（）因為P、G、Q三點共線，建立關于參數的等式，消去參數t即得結論；
（2）由于△APQ與△ABC有公共角，則==λμ，由題設有1≤≤2，+=3將表示成關于λ的函數解析式，利用函數的最值問題即可求出的取值范圍．
解答：解：（1）設，連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．
于是=（）=（）   
 =（）
又由已知=λ=λ．=μ=μ．
∴=-=μ-λc
=（）-λ=（-λ） +
因為P、G、Q三點共線，則存在實數t，滿足
所以（-λ） +=tμ-tλ
由向量相等的條件得   消去參數t得，=-，
即+=3．…（6分）
（2）由于△APQ與△ABC有公共角，則==λμ，
由題設有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是≥1，≥1，
∵=3-≤2，∴1≤≤2，
∵+=3∴μ==λμ===…（12分）
∵1≤≤2，∴當=時，-（-）²+有最大值，
λ=1或2時，-（-）²+有最小值2．
∴的取值范圍為[，]．…14
點評：本題考查的知識點是向量的線性運算性質及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據向量共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得 ，進而得到x，y的關系式，是解答本題的關鍵．