Question

(本小題滿(mǎn)分15分)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.
(1)若曲線(xiàn)y＝f(x)與曲線(xiàn)y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，求a的值及該切線(xiàn)的方程；
(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求其最小值φ(a)的解析式；
(3)對(duì)(2)中的φ(a)，證明：當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，φ(a)≤1

Answer 1

解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，

∴兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e²，e)．切線(xiàn)的斜率為k＝f′(e²)＝，
∴切線(xiàn)的方程為y－e＝ (x－e²)．
(2)由條件知h(x)＝－alnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝，
①當(dāng)a>0時(shí)，令h′(x)＝0，解得x＝4a²
∴當(dāng)0<x<4a²時(shí)，h′(x)<0，h(x)在(0,4a²)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>4a²時(shí)，h′(x)>0，h(x)在(4a²，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴x＝4a²是h(x)在(0，＋∞)上的惟一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)．
∴最小值φ(a)＝h(4a²)＝2a－aln(4a²)＝2a[1－ln (2a)]．

解析