Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，ln]，滿足a-e^x+1+x＜0成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時，f（x）≥（t-1）x恒成立，求t的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（Ⅱ）由a-e^x+1+x＜0得a＜e^x-1-x，然后求出函數(shù)e^x-1-x的最小值；
（Ⅲ）將不等式f（x）≥（t-1）x化簡為e^x-1≥tx，利用圖象關(guān)系求t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為f（1）=e-2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=e^x-1，所以f'（1）=e-1，
所以函數(shù)在（1，e-2）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x．
（Ⅱ）要使a-e^x+1+x＜0成立，即a＜e^x-1-x，只有求出函數(shù)e^x-1-x在[-1，ln]的最小值，即可．
設(shè)f（x）=e^x-1-x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=e^x-1，由f'（x）=e^x-1=0，
解得x=0，當(dāng)x＞0，f'（x）＞0，此時函數(shù)遞增．當(dāng)x＜0，f'（x）＜0，此時函數(shù)遞減．
所以當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）=e^x-1-x取的極小值f（0）=0，同時也是最小值．
所以要使a＜e^x-1-x，成立，所以有a＜0．即a的取值范圍是a＜0．
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時，f（x）≥（t-1）x，所以e^x-1≥tx，
設(shè)g（x）=e^x-1，則g'（x）=e^x，當(dāng)x≥0時，g'（x）=e^x≥1，
．如圖：要使e^x-1≥tx，成立，則有t≤1，所以t的范圍t≤1
點評：本題的考點是導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，其中第三問需要利用數(shù)形結(jié)合思想去解決．